Тип работы: дипломная работа

Категория: Рефераты по математике

Добавлен: 16.11.2019

Комментарии: 0

Язык: Русский

Формат файла: MS Word 10,23 kb

Время на чтение: 59 мин., 6 сек.

Теги: применение, алгебра

Рейтинг:

0 из 5. Оценок: 0.

Тема: *-Алгебры и их применение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

студент 5 курса специальности математика

_________________________________

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ассистент каф. алгебры и функционального анализа

_________________________________

профессор, доктор физико-математических наук

_________________________________

РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:

зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.

_________________________________

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………………..4

Глава I . Основные понятия и определения …………………………………….6

§ 1. * - алгебры ……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения ……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II . Задача о двух ортопроекторах ………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве …………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P 2 ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P 2 ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P 2 …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве ……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P 2 …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III . Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве ……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р12 …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = а Р1 + b Р2 (0<а< b ) ……………………..53

Заключение ………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56


ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н – гильбертово пространство, L (Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н . Рассмотрим подмножество А в L (Н) , сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А , то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L (Н) ) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С *-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P 2

P 2 = С < p 1 , p 2 | p 1 2 = p 1 * = p 1 , p 2 2 = p 2 * = p 2 > ,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P 2 , с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н . Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P 2 . Неприводимые *-представления P 2 одномерны и двумерны:

4 одномерных: π0,0 ( p 1 ) = 0, π0,0 ( p 2 ) = 0; π0,1 ( p 1 ) = 0, π0,1 ( p 2 ) = 1;

π1,0 ( p 1 ) = 1, π1,0 ( p 2 ) = 0; π1,1 ( p 1 ) = 1, π1,1 ( p 2 ) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н , а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2 , применяется к изучению сумм Р12 , аР1 + b Р2 (0 < a < b ). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р12 или А = аР1 + b Р2 , 0 < a < b , (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).


Глава I . Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

1.1. Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x , y , … называется алгеб-
рой, если:

1) А есть линейное пространство;

2) в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

α (x y) = ( α x) y,

x ( α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x ( y + z ) = xy + xz для любых x , y , z А и любых чисел α.

Два элемента x , y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx . Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x x * алгебры А в А , что

(i) (x*)* = x;

(ii) (x + y)* = x* + y*;

(iii) ( α x)* = x*;

(iv) ( x y )* = y * x * для любых x , y С .

Алгебра над С , снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х . Подмножество А , сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства ( i ) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А .

1.2. Примеры

1) На А = С отображение z (комплексное число, сопряженное к z ) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

2) Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т , стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT : |f ( t ) | ε} компактно, f ( t ) А . Снабжая А отображением f получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

3) Пусть Н – гильбертово пространство. А = L ( H ) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н . Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н ; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию АА* К(Н)) . Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н) , то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3 . Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е , удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех х А (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А .

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А , то

е΄х = хе΄ = х , для всех х А (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄ , а в (1.2.) х = е , получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е , следовательно е΄ = е .

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х , х А ; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄ , в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α1 е + х1 ) + (α2 е + х2 ) = (α1 + α2 )е + (х1 + х2 ),

1 е + х1 )(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х22 х1 + х1 х2 (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, х А , так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х А , в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0 .

Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х А , в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α11 ) + (α2 , х2 ) = (α1 + α2 , х1 + х2 ),

11 )(α2 , х2 ) = (α1 α2 , α1 х2 + α2 х1 + х1 х2 ), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х А и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х) , мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х , если xy = e . Элемент z называется правым обратным элемента х , если xz = e .

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z , получим

z = (yx)z = y(xz) = ye ,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х .

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х , нормальным, если хх* = х*х . Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А . Если х и y эрмитовы, то ( xy )*= y * x * = yx ; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х А элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z C , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 + i х2 , где х1 , х2 – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 + i х2 , следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1 , х2 , определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 + i х2 .

Эти элементы х1 , х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х .

Заметим, что хх* = х1 2 + х2 2 + i 2 х1 – х1 х2 ) ,

хх* = х1 2 + х22 - i 2 х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при х А , мы определим инволюцию в А΄ , удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1 )*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1 х = хх-1 = е,

получим х* (х-1 )*= (х*)-1 х*=е.

Но это означает, что (х-1 )* есть обратный к х* .

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из х А1 следует, что х* А1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А , есть минимальная *-подалгебра, содержащая S .

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1 В .

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В , то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1 )*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1 В .

Определение 1.6. Элемент х А - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е , иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1 .

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А . Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А , то

((х y )*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y *)-1 = xy ,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1 )*)-1 = ((х*)-1 )-1 = х-1 , то х-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В , что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х, y А , α С . Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

(i) IA ;

(ii) Из х, y I следует x + y I ;

(iii) Из х I , аα А следует αх I .

Если I = А , то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А . Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I , если х- y I . Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A / I .

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х I следует х* I .

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I , то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A / I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х- y I , то х*- y * I . Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I . Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A / I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄ , то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А . Фактор-алгебра A / I *-изоморфна *-алгебре А΄ .

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х А в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A / I .


§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L ( H ) .

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L ( H ) , что

π ( x + y ) = π( x ) + π( y ) , π x ) = απ( x ) ,

π ( xy ) = π( x ) π( y ) , π ( x *) = π ( x )*

для любых х, y А и α С .

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U , действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2 , переводящий π1 (х) в π2 (х) для любого х А , то есть

U π1 (х) = π2 (х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π(х) f (для всех х А ) плотно в Н . Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н1 Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А )Н1 Н1 .

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х А ) можно рассматривать как операторы Н1 . Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры А в Н1 .

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н , то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1 , то есть ( f , g ) = 0 для всех g Н1 . Тогда для любого х А(х) f , g ) = (f , π(х) *g ) = (f , π(х*) g ) = 0 , так как π(х*) g Н1 . Следовательно, вектор π(х) f также ортогонален к Н1 .

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1 Н1 .

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1 .

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f Н1 , но также π(х) f Н1 . Отсюда для любого вектора f Н

π(х) Р1 f Н1

следовательно, Р1 π(х) Р1 f = π(х) Р1 f ,

то есть Р1 π(х) Р1 = π(х) Р1 .

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х , получаем, что также

Р1 π(х) Р1 = Р1 π(х) .

Следовательно, Р1 π(х) = π(х) Р1 ; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f Н1

Р1 π(х) f = π(х) Р1 f = π(х) f ;

Следовательно, также π(х) f Н1 . Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f 1 + … + fn , где f 1 , ,fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х) h = π(х) f 1 +…+ π(х) fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х) g .

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (πi ) i I - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н i (i I ). Пусть

|| πi ( х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i .

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н i , то есть Н = Н i . В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н , который индуцирует πi (х) в каждом Н i . Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н , называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое πi или π1 …..πn в случае конечного семейства представлений (π1 …..πn ). Если (πi ) i I семейство представлений *-алгебры А , совпадающих с представлением π, и если CardI = c , то представления πi обозначается через с π. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f 0 0 – какой-либо вектор из Н . Рассмотрим совокупность всех векторов π(х) f 0 , где х пробегает всю *-алгебру А . Замыкание этой совокупности обозначим через Н1 . Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f 0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = H , то предложение доказано; в противном случае H 1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1 .

Обозначим через М совокупность всех систем {Н α }, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1 , Н2 }. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н α } М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н α }. Но тогда Н= Н α ; в противном случае в инвариантном подпространстве Н -(Н α ) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Н α }Н0 М , содержащую максимальную систему {Н α }, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н .

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. Приf Н , f ≠ 0 , подпространство, натянутое на векторы π(х) f , х А , есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н . Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

f | α C } инвариантно и потому совпадает с Н , то есть π(х)=0 в Н . Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н , то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н .

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А ) в L ( H ) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х) . Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f ) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда

В=λ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х) . Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х) . Действительно,

В*π(х) = (π(х*) В)* = (Вπ(х*))* = π(х) В*

Поэтому эрмитовы операторы В1 =, В2 = также перестановочны со всеми операторами π (х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1 +i В2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х) , кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н Н΄ такой, что Т π(х)= π΄ (х) Т для любого х А , называется оператором сплетающим π и π΄ .

Пусть Т : Н Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄ . Тогда Т * : Н΄ Н является оператором, сплетающим π΄ иπ, так как

Т΄ (х) = (π΄ (х) Т )* = (Т π (х*) )* = π(х) Т *

Отсюда получаем, что

Т * Т π(х)= Т΄ (х) Т = π(х) Т *Т (2.1.)

Поэтому | T | = (T *T )1/2 перестановочен с π( А ) . Пусть Т = U | T | - полярное разложение Т . Тогда для любого х А

U π(х) | T | = U | T | π(х) = Т π(х) = π΄ (х) Т= π΄ (х) U | T | (2.2.)

Если KerT ={0}, то | T | (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

U π(х) = π΄ (х) U (2.3.)

Если, кроме того, = Н΄ , то есть если KerT *={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н Н΄ . Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т *Т и ТТ * - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А . Тогда π = π1 …..πn , где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ< q . Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄ , причем dimπ΄<q , dimπ΄΄ <q , и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1 …..πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1 , ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2 . Пусть Р1 и Р2 – проекторы Н на Н1 и Н2 . Они коммутируют с π(А ). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2 . Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп-
пировав πi , получаем, что π = ν 1 …..ν m , где каждоеν i есть кратное ρ i ν i ΄ неприводимого представления ν i ΄ , и ν i ΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н i , отвечающих ν i , кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н i . Это доказывает, что каждое пространство Н i определяется однозначно: Н i – это подпространство Н , порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν i ΄ . Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1 ν 1 ΄ …..ρm ν m ΄ представления π, (где ν 1 ΄ ,…, ν m ΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ i и классы представлений ν i ΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т , снабженное множеством В подмножеств Т , обладающим следующими свойствами: Т В , Ø В , В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1 , Т2 – борелевские пространства. Отображение f : Т1 Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1 .

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т .

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε= ((H (t ))t T , Г ), где (H (t ))t T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т , а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i ) Г – векторное подпространство Н (t );

(ii) существует последовательность (х1 , х2 ,…) элементов Г таких, что для любого t T элементы х n ( t ) образуют последовательность H (t );

(iii) для любого х Г функция t ||x ( t ) || μ – измерима;

(iv) пусть х – векторное поле; если для любого y Г функция t (x ( t ) , y ( t ) ) μ – измерима, то х Г .

Пусть ε= ((H (t ))t T , Г ) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т . Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х Г и ||x( t) ||2 dμ( t) < + ∞.

Если х , y – с интегрируемым квадратом, то х+ y и λх (λ С ) – тоже и функция t →( x ( t ), y ( t )) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t) ) d μ (t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н , называемое прямым интегралом Н ( t ) и обозначаемое x ( t ) d μ( t ) .

Определение 2.10. Пусть ε= ((H (t ))t T , Г )– измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т . Пусть для любого t T определен оператор S ( t ) L (H ( t ) ). Если для любого х T поле t S ( t ) x ( t ) измеримо, то t S ( t ) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т , t Н ( t ) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т . Пусть для каждого t T задано представление π( t ) *-алгебры А в Н ( t ) : говорят, что t π( t ) есть поле представлений А .

Определение 2.11. Поле представлений t π( t ) называется измеримым, если для каждого х А поле операторов t π( t измеримо.

Если поле представлений t π( t ) измеримо, то для каждого х А можно образовать непрерывный оператор π(х) =π( t ) ( x ) d μ( t ) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н ( t ) dμ( t ) .

Теорема 2.9. Отображение х→ π(х) есть представление А в Н .

Доказательство. Для любых х, y А имеем

π(х+ y ) = π(t) (x+y) dμ( t ) = (t) (x) + π(t) (y) ) dμ( t ) = π(t) (x )dμ( t ) +

+ π( t ) ( y ) d μ( t ) = π(х) + π( y )

Аналогично π( λх) = λπ(х), π y ) = π(х) π( y ) , π(х*)= π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π( t ) и обозначается π= π(t) dμ( t ) .

Определение 2.13. Операторное поле t →φ( t ) I ( t ) L ( H ( t ) ) где I ( t ) -единичный оператор в H ( t ) , называется диагональным оператором в Н =Н ( t )dμ( t ) .

Пусть ε= ((H (t ))t T , Г ) – μ -измеримое поле гильбертовых пространств на Т , μ 1 – мера на Т , эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ 1 , μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ( t)= . Тогда отображение, которое каждому х Н ==Н ( t)dμ( t) составляет поле t→ρ( t) -1/2 х( t) Н1 =Н ( t) dμ1 ( t) ,

есть изометрический изоморфизм Н на Н1 , называемый каноническим.

Действительно,

||ρ( t ) -1/2 х( t )dμ1 ( t ) ||2 = ||х( t ) ||2 ρ( t ) -1 1 ( t ) = ||х( t ) ||2 1 ( t ) = ||х( t ) ||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т , t Н ( t ) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т , t π( t ) – измеримое поле представлений А в Н ( t ) ,

Н =Н ( t ) dμ( t ) , π1 == π(t )dμ( t ) ,

Д – алгебра диагональных операторов в Н . Пусть μ 1 – мера на Т , эквивалентная μ ,

Н1 =Н ( t ) dμ1 ( t ) , π1 =π(t) dμ 1 ( t ) ,

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1 . Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1 .

Доказательство. Пусть ρ( t )= . Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x ( t ) d μ( t ) Н в

Ux = ρ -1/2 х( t ) d μ1 ( t ) .

Пусть α А . Имеем

π1 ( α)Ux = π(t)( α) ρ -1/2 х( t ) d μ1 ( t ) = U π(t)( α) х( t ) d μ( t ) = U π( α)x ,

поэтому и преобразуем π в π1 . Тогда если S Д , то аналогично SUx = USx , для любого х Н .

Определение 2.14. Пусть Т , Т1 – борелевские пространства; μ , μ 1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε= ((H (t ))t T , Г ), Z 1 = ((H 1 (t 1 ))t 1 T 1 , Г ), - μ -измеримое и μ 1 -измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η : Т Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ 1 ; η -изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V (t ))t T , обладающееследующими свойствами:

(i) для любого t T отображение V ( t ) является изоморфизмом Н ( t ) на Н1 (η( t )) ;

(ii) для того, чтобы поле векторов t x ( t ) H ( t ) на Т было μ -измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η( t )→ V (t )х( t ) Н1 (η( t )) на Т1 было μ 1 -измеримо.

Отображение, переводящее поле х Н =Н ( t) dμ( t) в поле η( t))→ V (t )х( t) Н1 = Н1 ( t) dμ 1 ( t) , есть изоморфизм Н на Н1 , обозначаемый V ( t) dμ( t) .

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т , t H ( t )μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т , t π( t ) - μ - измеримое поле представлений А в H ( t ) ,

Н =Н ( t ) dμ( t ) , π == π(t) dμ( t ) ,

Д – алгебра диагональных операторов в Н . Определим аналогичным образом Т1 , μ 1 , t 1 H 1 ( t 1 ), t 1 π1 ( t 1 ) , Н1 , π1 , Д1 .

Предположим, что существует:

1. N , N 1 – борелевские подмножества Т и Т1 , такие что μ (N ) = μ (N 1 ) = 0;

2. борелевский изоморфизм η : T \ N T \ N 1 , преобразует μ в μ 1 ;

3. η -изоморфизм t V (t ) поля t Н (t ) (t Z \ N ) на поле t 1 Н1 (t 1 ) (t 1 Т1 \ N 1 ) такой, что V (t ) преобразует π( t ) в π1 (η( t )) для каждого t .

Тогда V =V ( t)dμ( t) преобразует Д в Д1 и π в π1 .

Доказательство. Обозначим через I t , I t 1 единичные операторы в Н (t ) и Н1 (t 1 ). Если f L (T , μ ) и если f 1 – функция на Т1 \ N 1 , получаемая из f |(T \ N ) при помощи η , то V преобразует f ( t ) I t dμ( t ) в f 1 ( t 1 ) I t 1 1 ( t 1 ) , поэтому V преоб-
разует Д в Д1 . С другой стороны, пусть α А и х = х( t ) dμ( t ) Н .

Тогда

V π( α = V π(t)( α) х( t ) d μ( t ) = V -1 (t 1 )) π -1 (t 1 ))( α) х(η -1 (t 1 )) d μ 1 ( t 1 ) = π1 (t 1 )( α) V -1 (t 1 )) х(η -1 (t 1 )) d μ 1 ( t 1 ) = π1 ( α) V х

Поэтому V преобразует π в π1 .

Приведем примеры прямых интегралов.

1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N , то есть μ( n ) =1 для любого n N . Тогда

Н ( n ) d μ( n ) = Н ( n ) , то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2. Пусть Т =[0, 1] и в каждой точке t Т соответствует поле комплексных чисел С , и на Т задана линейная мера Лебега dt . Тогда С dt = L 2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х( t) dtх( t) L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.


§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк .

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α1 ,…, αn ) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1 ,…, Н n и обозначается Н1 ,…, Н n = . Его векторы имеют вид:

f = (f α C ), || f ||2 =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

( f, g) = (3.3.)

Пусть f( k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1) f(n) = (3.4.)

Коэффициенты f α = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н1 ,…, Н n <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1 ,…, Н n и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2 , причем считается, что

(f1 + g1 )f2 = f1 f2 + g1 f2 (3.6.)

f1 (f2 + g2 ) = f1 f2 + f1 g2 (3.7.)

f1 )f2 = λ (f1 f2 ) (3.8.)

f1 λ (f2 ) = λ (f1 f2 ) (3.9.)

f1 ,g1 Н1 ; f2 ,g2 Н2 ; λ С .

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L .

(f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1 )(f2 g2 ) (3.10.)

f1 ,g1 Н1 ; f2 ,g2 Н2 ,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов Ак L (Нк , Gк ). Определим тензорное произведение А1 А n = Ак формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1 ,…, Н n = (Н1 ,…, Н n-1 )Н n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = G1 G2 . В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат f α .

Зафиксируем α2 , β1 Z+ и обозначим через f 2 ) Н1 вектор f 2 ) = и через g 1 )G2 вектор g 1 ) =. Получим

= =

= =

= =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1 G2 ряда уже при произвольном c Н1 Н2 и оценка его нормы в G1 G2 сверху через ||A1 || ||A2 || ||f ||. Таким образом, оператор A1 A2 : Н1 Н2 G1 G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1 || ||A2 ||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2 ) (f1 f2 )|| = ||A1 f1 ||||A2 f2 || (fк Нк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1 , f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1 || ||A2 ||, поэтому неравенство ||(A1 A2 )|| ≤ ||A1 || ||A2 || не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак L (Hк , Gк ), Вк L (Hк , Gк ) (к = 1,…, n) соотношения

(Вк ) (Ак ) = (Вк Ак ) (3.13.)

(Ак )* = Ак *(3.14)

(Ак ) (f1 f n ) = A1 f1 An fn (3.15.)

(fк Hк ; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор Ак .

Приведем пример. Пусть Hк = L2 ((0,1), d (mк )) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L2 . Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2 , поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2 .


Глава II . Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P 2

P 2 = С < р1 , р2 | р1 2 = р1 * = р1 , р2 2 =р2 * = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2 p 1 – 1, v = 2 p 2 – 1, тогда u , v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 – 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u , v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P 2 можно задать иначе:

P 2 = С < p1 * = p1 , p2 * =p2 | p1 2 = p1 , p2 2 = p2 > = C <u * = u , v * = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P 2 , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P 2 . Пусть π: P 2 L( H) - *-представление *-алгебры P 2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P 2 = С < р1 , р2 | р1 2 = р1 * = р1 , р2 2 =р2 * = р2 >

Обозначим через Рк = πк ) , к = 1,2. Поскольку рк 2 = рк * = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк 2 = Рк * = Рк (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {y H | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1. Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

2. Н1 = Н (то есть dim H 1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

3. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

4. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P 2 , причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P 2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н . Тогда Н =H1 Н1 , Н =H2 Н2

Введем дополнительные обозначения :

Н0,0 = Н1 ∩Н2 , Н0,1 = Н1 ∩Н2 , Н1,0 = Н1 ∩Н2 , Н1,1 = Н1 ∩Н2 . (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h }, но тогда P1 h = h , P2 h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1 , e2 } и {g1 , g2 }, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1 , e2 }.

Пустьg1 = a11 e1 + a12 e2

g2 = a21 e1 + a22 e2

e1 = b11 g1 + b12 g2

e2 = b21 g1 + b22 g2

Рассмотрим векторы h1 = eit e1 и h2 = eil e2 , тогда

|| h1 || = || eit e1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eil e2 || = || e2 || = 1

(h1 , h2 ) = (eit e1 , eil e2 ) = ei ( t- l) ( e1 , e2 ) = 0, то есть {h1 , h2 } – ортонормированный базис.

Р1 h1 =ei t Р1 e1 = h1 , Р1 h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 , h2 } матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11 ,a12 > 0 (так как, например, a11 e1 =|a11 | eit e1 =|a11 | h1 )

(e1 , e2 )= 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r , что

a22 = - r a11

a21 = r a12

Базис (e1 , e2 ) ортонормированный; следовательно

a11 2 + a12 2 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11 g1 + b12 g2 ) = b11 g1 = b11 a11 e1 + b11 a12 e2 ,

Р2 e2 = Р2 ( b21 g1 + b22 g2 ) = b21 g1 = b21 a11 e1 + b21 a12 e2 .

Найдем b11 и b21 :

e1 = b11 g1 + b12 g2 = b11 (a11 e1 + a12 e2 ) + b12 (a21 e1 + a22 e2 ) = (b11 a11 + b12 a12 )e1 + (b11 a12 + b12 a22 )e2 ,

b11 a11 + b12 a12 = 1

b11 a12 + b12 a22 = 0 или

b11 a11 + b12 a12 r = 1

b11 a12 - b12 a11 r = 0,

Тогдаb11 = a11 .

Аналогично

E2 = b21 g1 + b22 g2 = (b21 a11 + b22 a21 )e1 + (b21 a12 + b22 a22 )e2 ,

b21 a11 + b22 a21 = 0

b21 a12 + b22 a22 = 1,

отсюда находим, что b21 = a12 .

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1 , e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2 )

Р2 = , где a11 >0, a12 >0 и a11 2 + a12 2 =1

А) Пусть a11 2 = τ , тогда a12 2 =1 – τ , a11 a12 = . Так как a11 a12 >0, то τ (0, 1).

Тогда Р2 = .

В) Положим a11 = cosφ, тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = .

Найдем коммутант π( P 2 ) . Пусть Т = оператор перестановочный с Р1 и Р2 , тогда

ТР1 = =

Р1 Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР2 = =

Р2 Т= =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ , ν (0, 1), τ ν . Предположим, что существует унитарный оператор в Н , устанавливающий эквивалентность. Тогда

1 = Р1 U, следовательно U= , a, b C

2 (τ ) = =

Р2 (ν ) U = = .

Тогда τ = ν , следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P 2 L( H) - *-представление *-алгебры P 2 .

Тогда:

( i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0 ( p1 ) = 0; π0,0 ( p2 ) = 0; π1,0 ( p1 ) = 1; π1,0 ( p2 ) = 0; π0,1 ( p1 ) = 0; π0,1 ( p2 ) = 1; π1,1 ( p1 ) = 1; π1,1 ( p2 ) = 1;

( ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π( p1 ) , π( p2 ) τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii ) можно положить π( p2 ) = φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P 2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н . Если dimН =2n +1, где n >1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1 , dimН1 ) + max (dimН2 , dimН2 ) > 2n +1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 иj = 0,1, что Н i, j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН =2n , n >1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n , dimН2 = n и Н i, j = {0} для любых i = 0,1 иj = 0,1, то есть Н i, j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, х Н1 такой, что Р1 Р2 х = λх , где λ С .

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н , в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I – единичная матрица порядка n . Пусть базисы (е ) и (g ) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как х Н1 , то , gk C , к = 1,…, n . Тогда

Р1 Р2 х = Р1 Р2 = Р1 Р2 = Р1 =

= Р1 = = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1 ,…, qn :

=

j = 1,…, n

Подбирая λ C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1 ,…, qn . Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L =л.о. {х , Р2 х } – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2 .

Доказательство. Проверим инвариантность L . Для любых a, b С имеем

Р1 (aх + b Р2 х ) = + λ = (a + λb ) х L ,

Р2 (aх + b Р2 х ) = a Р2 х + b Р2 х = (a + b ) Р2 х L

dimL = 2, так как Н i, j = {0} (для всех i, j = 0,1).

Действительно, если aх + b Р2 х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р2 х , значит = 0 или 1 и х Н1,1 ; тогда Н1,1 ≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n , n >2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P 2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n . В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P 2 , а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2 Нк )), (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк φ i при кi , dimНк = nк (к = 1,…, m ). Пусть Рi, j : Н Н i, j , Рφк : Н С2 Нк – ортопроекторы к = 1,…, m . Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (Рφк ), (1.2.)

P1 = P1,0 P1,1 ((Iк )) (1.3)

Р 2 = P0,1 P1,1 (Iк )) (1.4)

где Iк – единичный оператор на Нк (к = 1,…, m ).

Доказательство. Пусть dimН i, j = ni , j . Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄ , где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φк (0, ):

Н΄ = Н φк , (l = n - )

Собирая вместе все Н φк , у которых одно φк , получим изоморфизм

Н φк Н φк С2 Нк , где Н φк nк экземпляров, dim(Н φк Н φк )=2nк dim(С2 Нк ) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2 Нк ))

Пусть πi, j – сужение π на Н i, j ( i, j = 0,1), πк – сужение π на Н φк (к = 1,…, m ), то есть πi, j и πк - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n0,0 π0,0 n0,1 π0,1 n1,0 π1,0 n1,1 π1,1 (nк πк ) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (Р φк )

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 P1,1 ((I к ))

Р 2 = P0,1 P1,1 (I к ))

Причемn1,0 π1,0 (р 1 ) = P1,0 , n0,1 π0,1 (p2 ) = P0,1 , n1,1 π1,1 (р 1 ) = P1,1 , n0,0 π0,0 (p2 ) = P0,0 . В силу теоремы 2.8. главы I разложения I , Р1 и Р2 также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P 2 . Пусть А = Р1 - Р1 = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2 = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1 =ВА и А-1 UА = АUА = А2 ВА = ВА = U-1 , следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1 А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1 LL, Р2 LL. Рассмотрим АL = (2Р1 – I)LL, ВL = (2Р2 – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1 L = LL, Р2 L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если ei φ (U), то e- (U).

Доказательство.

1) Если ei φ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует f Н: ||f || = 1 и Uf = ei φ f . Тогда по (2.1.) UАf = АU-1 f = ei φ Аf , следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e- принадлежит спектру U.

2) Если ei φ (U), то существует последовательность единичных векторов в Н || fn || = 1 такая, что

||Ufn - ei φ fn || = || UАfn - ei φ Afn || = || U-1 Аfn - ei φ Afn || 0 при n ∞ (|| Аfn || =1)

Тогда ei φ (U-1 ), следовательно e- (U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1 ) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А

А (U - U-1 ) = А (U2 – 2I + U-2 ) = (U2 – 2I + U-2 )А = (U - U-1 )2 А

Таким образом А (U + U-1 ) = (U-1 +U)А (2.2.)

А (U - U-1 ) = (U - U-1 )2 А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = c I

(U - U-1 )2 = d2 I

где c, d С. По теореме преобразования спектров ei φ + e- = c, ei φ - e- = ±d.

1) Если d = 0, то (U) состоит из одной точки ei φ , где φ =0 или φ =π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x }, х H.

2) Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек ei φ = и e- =φ (0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению ei φ (или e- ), Нeiφ = {f H | Uf = ei φ f } одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = ei φ f , U(Аf ) = ei φ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiφ = dimН- eiφ =1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {ei φ , e- } φ (0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U= , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1 , Р2 ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2 L2 ((0, ), к ))) (2.4.)

где ρ 1 > ρ 2 >… ρ к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P1 = P1,0 P1,1 ((I к )) (2.5.)

Р 2 = P0,1 P1,1 (I к )) (2.6.)

Iк – единичный оператор в L2 ((0, ), к )

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н΄ , то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P 2 отвечает циклическое представление πF *-алгебры P 2 в некотором гильбертовом пространстве Н F . При этом Н F можно реализовать как L2 (F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μF на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Н ξ Н , которое получается замыканием множества векторов вида π(х) ξ, где х А . Ограничения операторов из π( А ) на Н ξ является циклическим представлением. Обозначим его через πξ , а соответствующую меру на Т через μξ . Введем упорядочение в Н , полагая ξ>η, если μξ > μη (то есть μη абсолютно непрерывна по мере μξ ).

Если ηН ξ , то Н η Н ξ , тогда πη – циклическое подпредставление πξ . Пусть Е Т и μξ (Е) = 0, тогда μη (Е) = 0, следовательно μξ > μη , а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н . Пусть существует счетное разложение Н = Н ηк . Пусть {ζi } – последовательность, в которой каждый из векторов ηi встречается бесконечное число раз. Определим ξк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1) ξк+1 – максимальный вектор в (Н ξi ) ,

2) d (ζк , Н ξi ) ≤ .

Тогда разложение Н = Н ξк такое что ξкк+1 и μкк+1 .

Пусть представления πμ в L2 (Т, μ) и πν в L2 (Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L2 (Т, μ) →L2 (Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а =v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπμ (g)f = πν (g)vf = πν (g)a = ga . Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a |2 dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С2 L2 (Т,μк )), где μ12 >… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0 P1,1 ((I к ))

Р 2 = P0,1 P1,1 (I к ))

Iк – единичный оператор в L2 ((0, ), к ).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 С2 Н (φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1 , Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I+ =E(0, ) в Н+ =С2 Н (φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0 P1,1 I+ (2.8.)

Р 2 = P0,1 P1,1 dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2 (R , к ), где ρк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.


Глава III . Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y , х, y Н , λ С . Тогда (1 - λ) Рх = Рy . Если λ ≠ 1, то Рх = Рy . Если х ≠ 1, то х = (Рy - y ), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Рх ≠ 0. Тогда Р(Рх ) = Рх , то есть 1 р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y , то есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н . Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк – область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х , то есть 0 (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н Ах = х , то есть 1 (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах = х .

4) Р1 = Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н Ах = Р1 х + Р2 х = 2х , то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н0,1 или х Н1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н1,1 , тогда Ах = 2х , то есть 2 (А).

Если существуют i, j = 0,1 такие, что Н i, j ≠ {0}, то существуют k, l = 0,1 такие, что Н i, j Н k, l = H . В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н k, l = {0} для любых k, l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2 , тогда АLL . Пусть х L , тогда Рk х = λк х (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:

(i) λ1 = 0, λ2 = 0;

(ii) λ1 = 0, λ2 = 1;

(iii) λ1 = 1, λ2 = 0;

(iv) λ1 = 1, λ2 = 1;

Но это означает, что k, l = 0,1 такие, что Н k, l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1 , Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 = , Р2 τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов a Р1 +b Р2 , a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(a Р1 +b Р2 – λI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ1 = 1+ε , λ2 = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ <1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n -мерном пространстве. Пусть dimH =n . Если Н =К L , где К , L инвариантные подпространства относительно оператора А , то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l , k K , l L . Пусть λ (А), тогда Ах = λхkl ;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0 , Н1 =Н0,1 Н1,0 , Н2 =Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Н φк φк (0, ), (к = 1,…, s ). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Н φк (к = 1,…, s ), и собственные значения 1+εк , 1-εк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Н φк = Н 1+ ε к Н 1- ε к , причем dimН 1+ ε к =dimН 1- ε к = 1 (1.3)

Если φк φ i , то εк ≠ εi (так как εк = =cosφк и φк (0, )). Объединим все Н φк , у которых одинаковые φк , в одно слагаемое, и обозначим его через Н φк . При этом, если dimН φк = 2qk , то есть Н φк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Н φк = Н 1+ ε к Н 1- ε к , dimН 1+ ε к =dimН 1- ε к = qk .

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда

(А ) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), 0<εк <1,

причем dimН 1+ ε к =dimН 1- ε к к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2 , тогда его спектр был найден выше:

(А ) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<εк <1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН 1+ ε к =dimН 1- ε к . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2 Нк )) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2 (Н 1+ ε к Н 1- ε к ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом

P1 = P Н 2 ((I к )) (1.6.)

Р 2 = PН 1 PН 2 (I к )) (1.7.)

где PН к – ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is – единичный оператор в Hs s =1,…, m . Но тогда

Р1 + Р2 = PН 1 PН 2 ( Iк )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с . Из (1.2.) следует λ1 + λ2 = a + b . Пусть λ2 = ε, тогда λ1 = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b )2 – 4a b (1-τ ) = (a - b )2 + 4a > 0.

Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a

b – a

(b - a )2 +4ab τ (b – a )2

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ1 = ε

λ2 = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n . Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = a Р1 +b Р2 , 0<a <b тогда и только тогда, когда

(А ) {0, a , b , a + b }(к , a + b - εк }), 0<εк <1, и

dimН ε к =dimН a+ b - ε к (Н ε к , Н a+ b - ε к - собственные подпространства оператора А, отвечающие εк ) к =1,…m .

Доказательство. Пусть А = a Р1 +b Р2 , 0<a <b . Найдем (А).

1) х Н0,0 , то Ах = 0 и 0 (А);

2) х Н0,1 , то Ах = bx и b (А);

3) х Н1,0 , то Ах = ax и a (А);

4) х Н1,1 , то Ах = ( a+ b) x и a+ b (А).

Тогда (А) {0, a , b , a + b }(к , a + b - εк }), где 0<εк <1, к =1,…m . Причем числа εк , a + b - εк входят одновременно в спектр А , и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному εк также инвариантна относительно А и dimН ε к =dimН a+ b - ε к = qk . (с учетом кратности εк )

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0) Н( a) Н( b) Н( a+ b) ((С2 Нк )) (1.9.)

Где Н(0) =Н0,0 , Н( a) 1,0 , Н( b)0,1 , Н( a+ b)1,1 или

Н = Н(0) Н( a) Н( b) Н( a+ b) ((Н ε к Н a+ b - ε к ) (1.10.)

Положим

P1 = Pa Pa+b ((I к )) (1.11.)

Р 2 = Pb Pa+b (I к )) (1.12.)

Но тогда

a Р 1 + b Р 2 = a Pa b Pb +b) Pa+b (a (I к ))

(b I к )) = A .

Спектр оператора А совпадает с {0, a , b , a + b }(к , a + b - εк }), (0<εк <1, к =1,…m ) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.


§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2 . Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Н1 Н2 ((С2 L2 ((0, ), к ))) (2.1.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования 1+х 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р12 . Н0 =Н0,0 , Н11,0 Н0,1 , Н21,1

Поставим в соответствие φ→ ε cosφ , где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0 Н1 Н2 ((С2 L2 ((0,2), к )))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρк (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х 1- х .

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1 ΄ Р2 ΄ равенствами

Р1 ΄ = P1 P2 (( Iк ))

Р2 ΄ = P2 ( Iк ))

где Pi : Н Н i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik – единичный оператор в L2 ((0,2), к )). Тогда А =Р1 ΄ + Р2 ΄- самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Рк ΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ). Рассмотрим теперь случай, когда А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = a Р1 +b Р2 , 0<a <b тогда и только тогда, когда (А) [0, a ] [b, a+ b ] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Н a Н b Н a+ b ((С2 L2 ([0, a ] [b, a+ b ], к )))) (2.2.)

и меры ρк инвариантны относительно преобразования х→ a+ b .

Доказательство. Пусть А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ). Пусть Н0 =Н0,0 , На =Н0,1 , Н b =Н1,0 , Н a+ b =Н1,1 . Так как (А) [0, a ] [b, a+ b ] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0 Н a Н b Н a+ b ((С2 L2 ([0, a ] [b, a+ b ], к ))))

где меры ρк (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+ b-х .

Обратно, пусть (А) [0, a ] [b, a+ b ] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2 следующим образом

P1 = Pa Pa+b ((I к ))

Р 2 = Pb Pa+b (I к ))

где Рα : Н Н α , α = a, b, a+ b – ортопроекторы, Iк – единичный оператор в L2 ([0,a ] [b, a+ b ]). Тогда

А = a Р 1 + b Р 2 = a Р 1 b Р 2 (a+b )Pa+b ((I к ))

( Iк ))


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н , приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P 2 .

P 2 = С <p1 , p2 | pк 2 = pк * =pк >.

А именно: 4 одномерных π0,0 (p1 ) = 0, π0,0 (p2 ) = 0; π0,1 (p1 ) = 0, π0,1 (p2 ) = 1; π1,0 (p1 ) = 1, π1,0 (p2 ) = 0; π1,1 (p1 ) = 1, π1,1 (p2 ) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2 , a Р1 +b Р2 (0<a <b ), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = a Р1 +b Р2 (0<a <b ).


ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.


Комментарии (0)

Поделитесь своим мнением о работе.

Ещё никто не оставил комментария, вы будете первым.


Написать комментарий